4 wahrscheinlichkeitsverteilungen (dist) – Casio ALGEBRA FX 2.0 PLUS Teil 2 Benutzerhandbuch

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20010901

1-4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen (DIST)

Es gibt eine Vielzahl verschiedenartigster Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unter denen die
wohl bekannteste die Normalverteilung ist, die für statistische und wahrscheinlichkeits-
theoretische Berechnungen verwendet wird. Die Normalverteilung ist eine stetige und symmetri-
sche Verteilung um den Mittelwertparameter

µ

, d.h. bei einer statistischen Datenerhebung in

einer normalverteilten Grundgesamtheit werden Daten in unmittelbarer Umgebung von

µ

häufiger und weiter links oder rechts von

µ

liegende Zahlenwerte seltener in der Stichprobe

vorkommen. Dabei spielt als zweiter Parameter die Standardabweichung

σ

eine wichtige Rolle.

Die Poission-Verteilung, die geometrische Verteilung und andere diskrete Wahrscheinlich-
keitsverteilungen finden ebenfalls häufig Anwendung bei stochastischen Betrachtungen. Welche
Wahrscheinlichkeitsverteilung als wahrscheinlichkeitstheoretisches Datenmodell zur Anwendung
kommen wird, ist oftmals von der praktischen Fragestellung abhängig.

Ist das wahrscheinlichkeitstheoretische Datenmodell für

X

(die Wahrscheinlichkeitsverteilung

der Grundgesamtheit

X

oder der Zufallsgröße

X

) bekannt, können Sie z.B. Intervallwahr-

scheinlichkeiten

P(

X

[a, b]

)

=

P(

a

X

b

)

,

P(

X

(-

, b]

)

=

P(

X

b

)

oder

P(

X

[a,

)

)

=

P(

X

a

)

usw. berechnen.

So kann zum Beispiel die Verteilungsfunktion verwendet werden, um den Qualitätsanteil bei
der (Massen-)Produktion eines bestimmten Erzeugnisses zu berechnen, indem ein Qualitäts-
merkmal

X

betrachtet wird. Sobald ein

x

-Intervall (Wertebereich für

X

) als Kriterium vorgegeben

ist, können Sie die Normalverteilungswahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die
betrachtete Produktionskennziffer

X

genau in diesem

x

-Intervall liegen wird. D.h., Sie berechnen

den Prozentsatz dafür, dass ein vorgegebenes Kriterium erfüllt wird.
Andererseits kann z.B. eine unbekannte Ausschußrate

q

als Null-Hypothese (zum Beispiel

q

=

q

o

=10%) in einer dichotomen Grundgesamtheit

Y

angesetzt und dann mithilfe einer

normalverteilten Testgröße

Z

untersucht werden, um zu entscheiden, ob (mit einer gewissen

Irrtumswahrscheinlichkeit

α

) die Null-Hypothese zugunsten einer Alternativhypothese abgelehnt

werden muß.
Weiterhin spielt die Normalverteilung in Form ihrer Umkehrfunktion (Quantile der N(0,1)-
Verteilung) eine wichtige Rolle zur Berechnung der Intervallgrenzen von Vertrauensintervallen
z.B. für den Qualitätsanteil (Erfolgsquote

p

) innerhalb einer dichotomen Grundgesamtheit

Y

.

Mithilfe der Normalverteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen

x

-Wert die

Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung an der Stelle

x

berechnet werden.

Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung können unkompliziert Intervallwahr-
scheinlichkeiten der Form

P(

X

[a, b]

)

=

P(

a

X

b

)

für eine Normalverteilung berechnet

werden. Intervallwahrscheinlichkeiten können als schraffierte Fläche unter der (Gaußschen)
Glockenkurve grafisch veranschaulicht werden.

Mithilfe der Umkehrfunktion der (Normal-)Verteilungsfunktion kann schließlich für eine
vorgegebene Intervallwahrscheinlichkeit

γ

=

P(

X

(-

,

x

γ ]

)

=

P(

X

x

γ

)

die Intervallgrenze

x

γ (Quantil der Ordnung

γ

) berechnet werden.

Mithilfe der Studentschen

t

-Verteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen

x

-

Wert die Wahrscheinlichkeitsdichte der

t

-Verteilung an der Stelle

x

berechnet werden.

Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Student-Verteilung (

t

-Verteilung) können unkompliziert

Intervallwahrscheinlichkeiten der Form

P(

X

[a, b]

)

=

P(

a

X

b

)

für eine

t

-Verteilung

berechnet werden. Als Parameter der

t

-Verteilung sind deren Freiheitsgrade zu beachten.

1-4-1

Wahrscheinlichkeitsverteilungen (DIST)

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